Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 25}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $25$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 25 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 25$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Paso 7.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{3 + 0 - 0}$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3 + 0 + 0}$

Paso 7.2.3

Suma $3 + 0$ y $0$ .

$\frac{1}{3 + 0}$

Paso 7.2.4

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$