Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{y}{z}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = \frac{y}{z}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Combina $\frac{y}{z}$ y $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2.4

Como $\frac{1}{z}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{z}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Combina $x^{\frac{y}{z}}$ y $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Paso 2.5.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Paso 2.7.2

Reordena los factores en $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$