Cálculo Ejemplos

$y = x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.6

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.7

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$x (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.10

Combina $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ y $2$ .

$x \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.11

Combina $x$ y $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.13

Multiplica $\arctan (2 x)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.14

Para escribir $\arctan (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 (2 x)))$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 8 x))$

Paso 3.8

Suma $0$ y $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (8 x))$

Paso 3.9

Combina $8$ y $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{8}{1 + 4 x^{2}} x)$

Paso 3.10

Combina $\frac{8}{1 + 4 x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 3.11

Multiplica $\frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{(1 + 4 x^{2}) \cdot 4}$

Paso 3.12

Mueve $4$ a la izquierda de $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{4 \cdot (1 + 4 x^{2})}$

Paso 3.13

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 3.13.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

Paso 3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

Paso 3.13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\arctan (2 x)$ por $1$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) - 2 x}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) + 0}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4.2.4

Suma $\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})$ y $0$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

Paso 4.4

Factoriza $\arctan (2 x)$ de $4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $\arctan (2 x)$ de $4 x^{2} \arctan (2 x)$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1}{4 x^{2} + 1}$

Paso 4.4.3

Factoriza $\arctan (2 x)$ de $\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $4 x^{2} + 1$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

Paso 4.5.2

Divide $\arctan (2 x)$ por $1$ .

$\arctan (2 x)$