Cálculo Ejemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Paso 2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 9}$ y $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Paso 2.10

Cancela el factor común de $3$ y $3 x - 9$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Paso 2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Paso 2.10.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Paso 2.10.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 2.10.2.4

Cancela el factor común.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 2.10.2.5

Reescribe la expresión.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Paso 2.11

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Paso 3

Combina los términos.

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Paso 3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Paso 3.3

Resta $4$ de $- 3$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$