Cálculo Ejemplos

$\frac{5 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{5 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4

Expande $(5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (5 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.7

Resta $1$ de $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.9

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.10

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Paso 4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 4.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Paso 4.12.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 10.2

Reordena los términos.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$