Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

Paso 1

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 5$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 5$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

Paso 6.2

Reordena $x^{2}$ y $5$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

Paso 7

Reescribe $5$ como ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ .

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ .

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $- 5$ y $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$