Cálculo Ejemplos

${(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{3}$ y $g (v) = v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $5 v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 (- 2 v^{- 3}))$

Paso 3.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 10 v^{- 3})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 v^{- 3} - 3 v^{- 4})$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 \frac{1}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Paso 4.2.2

Combina $- 10$ y $\frac{1}{v^{3}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{- 10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 \frac{1}{v^{4}})$

Paso 4.2.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{v^{4}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} + \frac{- 3}{v^{4}})$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Paso 7

Combina $5$ y $\frac{1}{v^{2}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{5}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$