Cálculo Ejemplos

$s = 32 + 64 t - 16 t^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (32 + 64 t - 16 t^{2})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 + 64 t - 16 t^{2}$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d s} [32] + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Paso 3.1.2

Como $32$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $32$ con respecto a $s$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [64 t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d s} [64 t]$ .

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Paso 3.2.1

Como $64$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $64 t$ con respecto a $s$ es $64 \frac{d}{d s} [t]$ .

$0 + 64 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$0 + 64 t' + \frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- 16 t^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 16 t^{2}$ con respecto a $s$ es $- 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$0 + 64 t' - 16 \frac{d}{d s} [t^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{2}$ y $g (s) = t$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d s} [t])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 u \frac{d}{d s} [t])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 t \frac{d}{d s} [t])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$0 + 64 t' - 16 (2 t t')$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$0 + 64 t' - 32 t t'$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Suma $0$ y $64 t'$ .

$64 t' - 32 t t'$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$- 32 t t' + 64 t'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - 32 t t' + 64 t'$

Paso 5

Resuelve $t'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 32 t t' + 64 t' = 1$ .

$- 32 t t' + 64 t' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $32 t'$ de $- 32 t t' + 64 t'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $32 t'$ de $- 32 t t'$ .

$32 t' (- t) + 64 t' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $32 t'$ de $64 t'$ .

$32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2 = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $32 t'$ de $32 t' (- t) + 32 t' \cdot 2$ .

$32 t' (- t + 2) = 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $32 t' (- t + 2) = 1$ por $32 (- t + 2)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $32 t' (- t + 2) = 1$ por $32 (- t + 2)$ .

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{32 t' (- t + 2)}{32 (- t + 2)} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- t + 2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t' (- t + 2)}{- t + 2} = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{1}{32 (- t + 2)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t) + 2)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t) - 1 (- 2))}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (t) - 1 (- 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- (t - 2))}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.4.1

Reescribe $- (t - 2)$ como $- 1 (t - 2)$ .

$t' = \frac{1}{32 (- 1 (t - 2))}$

Paso 5.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t' = - \frac{1}{32 (t - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $t'$ con $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = - \frac{1}{32 (t - 2)}$