Cálculo Ejemplos

$r = \frac{4 e^{w}}{5 w}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d w} (r) = \frac{d}{d w} (\frac{4 e^{w}}{5 w})$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $w$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $\frac{4 e^{w}}{5 w}$ con respecto a $w$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ es $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ donde $f (w) = e^{w}$ y $g (w) = w$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ es $a^{w} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 3.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ .

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{5 w^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{5 w^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Paso 3.5.4

Factoriza $4 e^{w}$ de $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ .

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Paso 3.5.4.1

Factoriza $4 e^{w}$ de $4 e^{w} w$ .

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

Paso 3.5.4.2

Factoriza $4 e^{w}$ de $- 4 e^{w}$ .

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{5 w^{2}}$

Paso 3.5.4.3

Factoriza $4 e^{w}$ de $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ .

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d w}$ .

$\frac{d r}{d w} = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$