Cálculo Ejemplos

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $s$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $\frac{1}{3 s^{2}}$ con respecto a $s$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{s^{2}}$ como ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{- 1}$ y $g (s) = s^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(s^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.7

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.11

Combina $\frac{- 2}{3}$ y $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.12

Mueve $s^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{5}{2}$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- \frac{5}{2 s}$ con respecto a $s$ es $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{s}$ como $s^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

Paso 3.3.6

Combina $\frac{5}{2}$ y $s^{- 2}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

Paso 3.3.7

Mueve $s^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$