Cálculo Ejemplos

$y = \sin (\sqrt{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sqrt{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sqrt{x}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\sqrt{x}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9

Combina $\cos (\sqrt{x})$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$