Cálculo Ejemplos

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7 x^{2}$ y $g (x) = 6 x + 5^{2}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 4.2

Suma $6$ y $0$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Paso 4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $7$ .

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.2

Multiplica $14$ por $6$ .

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

Paso 5.2.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

Paso 5.2.8

Multiplica $14$ por $25$ .

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

Paso 5.2.9

Suma $42 x^{2}$ y $84 x^{2}$ .

$126 x^{2} + 350 x$