Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \cdot 1) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) + (- (3 x^{2}) - (- 5 x)) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (6 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x - 5) + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{6 x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.4

Multiplica $6 x$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{1 + 2}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{3}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 3 x^{3} \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 (x \cdot x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x^{2}) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.7

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.1.8

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 0 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Suma $- 5 x^{2} + 6 x - 5$ y $0$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.3.3

Suma $- 5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$