Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 4.1.1.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 4.1.1.3.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.3.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4.2.2

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$