Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- x^{3} \sin (x) - \cos (x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena los factores en $- x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x)$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{3} \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) - 3 x^{2} \cos (x)}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (- x \sin (x)) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Paso 4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Paso 4.6

Reescribe $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ como $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$