Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2}{2 x^{4} - 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2$ y $g (x) = 2 x^{4} - 5$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \frac{d}{d x} [2] - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{4} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + 0)}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $8 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{4} \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $2 x^{4} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{0 x^{4} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $0$ por $x^{4}$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$\frac{0 + 0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 - 16 x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Resta $16 x^{3}$ de $0$ .

$\frac{- 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$