Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 3 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.5.2

Divide $x - 3$ por $1$ .

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A (x^{2} + 3)$ por $1$ .

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 3$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.6.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.6.1

Mueve $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.7

Mueve $3 A$ .

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = 3 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 1$ .

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe la ecuación como $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $3 A = - 3$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $3 A = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $3$ .

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Paso 3.4

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Paso 3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = - 1 C = 1$

Paso 3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

Paso 5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$