Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Paso 1.2

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 3) (x + 6)$ .

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.5.2

Divide $3 x - 1$ por $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.3

Mueve $6$ a la izquierda de $A$ .

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B) (x - 3)$ por $1$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

Paso 1.6.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

Paso 1.7

Mueve $6 A$ .

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = 6 A - 3 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $3 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $3 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 1 = 6 A - 3 B$ por $3 - B$ .

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $6 (3 - B) - 3 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $3 B$ de $- 6 B$ .

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 1 = 18 - 9 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $18 - 9 B = - 1$ .

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $18$ de $- 1$ .

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 9 B = - 19$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 9 B = - 19$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{19}{9}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 3 - B$ por $\frac{19}{9}$ .

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $3 - (\frac{19}{9})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{9}{9}$ .

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.4.2.1.4.2

Resta $19$ de $27$ .

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$