Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{s + k e^{s}}$ como ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ es $f' (g (s)) g' (s)$ donde $f (s) = s^{- 1}$ y $g (s) = s + k e^{s}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $s + k e^{s}$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Paso 3.3

Como $k$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $k e^{s}$ con respecto a $s$ es $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ es $a^{s} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Paso 5.2

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.5

Multiplica $- 1 - k e^{s}$ por $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$