Cálculo Ejemplos

$\frac{1 + \ln (t)}{1 - \ln (t)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 + \ln (t)$ y $g (t) = 1 - \ln (t)$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 + \ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [- \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \ln (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (- \frac{d}{d t} [\ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4.5

Multiplica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + 1 (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $1 + \ln (t)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Combina los términos opuestos en $1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}$ .

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Paso 6.3.1.1

Suma $- \ln (t) \frac{1}{t}$ y $\ln (t) \frac{1}{t}$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + 0}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Suma $1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}$ y $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 + 1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.4

Combina los términos.

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Paso 6.4.1

Reescribe $\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ como un producto.

$\frac{2}{t} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Paso 6.4.2

Multiplica $\frac{2}{t}$ por $\frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ .

$\frac{2}{t {(1 - \ln (t))}^{2}}$