Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (t)}{t^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $t^{2}$ y $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\frac{t^{2}}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t^{1}} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{t}{1} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.2.2.5

Divide $t$ por $1$ .

$\frac{t - \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{t - \ln (t) (2 t)}{t^{4}}$

Paso 4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{t - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $t$ de $t - 2 \ln (t) t$ .

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Paso 4.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{1} - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot 1 - 2 \ln (t) t}{t^{4}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $t$ de $- 2 \ln (t) t$ .

$\frac{t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Paso 4.4.2.4

Factoriza $t$ de $t \cdot 1 + t (- 2 \ln (t))$ .

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{t (1 - 2 \ln (t))}{t \cdot t^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 \ln (t)}{t^{3}}$

Paso 6

Simplifica $- 2 \ln (t)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (t^{2})}{t^{3}}$