Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \ln (5 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \ln (5 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{5 x}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $5$ y $\frac{\sin (x)}{5 x}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{\sin (x)}{x}$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \cos (x)$

Paso 5

Reordena los términos.

$\cos (x) \ln (5 x) + \frac{\sin (x)}{x}$