Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.3

Multiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ al numerador.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.4.2

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Paso 4.2.6

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 4.2.7

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.3

Suma $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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