Cálculo Ejemplos

$p (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.8

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.10

Multiplica $72$ por $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 + 0)$

Paso 2.12

Suma $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ y $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 72) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.2

Multiplica $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ por $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $3$ de $72$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (24)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe $2$ como $- 4$ más $6$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 4 + 6) x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (- x^{2} - 4 x + 6 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 ((- x^{2} - 4 x) + 6 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 (x (- x - 4) - 6 (- x - 4))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 4$ .

$\frac{3 ((- x - 4) (x - 6))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 4) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 4) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{3 (- (x + 4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.7

Reescribe $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 72 x + 1}$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 72 x + 1}$

Paso 3.11

Factoriza $- 1$ de $72 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 72 x) + 1}$

Paso 3.12

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) + 1}$

Paso 3.13

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 1)}$

Paso 3.14

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Paso 3.15

Reescribe $- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Paso 3.16

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Paso 3.17

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x + 4) (x - 6)}{x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1}$