Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.12

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.13

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.14

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.14.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.14.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.14.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.15

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.17

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 (- \sin (x))$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 3 \sin (x)$