Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 6 x - 2$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 6.3

Mueve ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 10

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 11

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{{(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$