Cálculo Ejemplos

$f (z) = (4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 z^{3} - z)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = 4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ y $g (z) = 2 z^{3} - z$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [2 z^{3} - z] + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 z^{3} - z$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 z^{3}$ con respecto a $z$ es $2 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1 \cdot 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.9

Como $4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $4 z^{4}$ con respecto a $z$ es $4 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.11

Multiplica $4$ por $4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.12

Como $2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 z^{2}$ con respecto a $z$ es $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 2.15

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + 0)$

Paso 2.16

Suma $16 z^{3} + 4 z$ y $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $1$ de $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1$ de $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Paso 3.1.2

Factoriza $1$ de $(2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Paso 3.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Paso 3.2

Multiplica $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ por $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Expande $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 z^{4} (6 z^{2}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot 6 z^{4} z^{2} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $z^{4}$ por $z^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.2.1

Mueve $z^{2}$ .

$4 \cdot 6 (z^{2} z^{4}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cdot 6 z^{2 + 4} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$4 \cdot 6 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2} z^{2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.6

Multiplica $z^{2}$ por $z^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.6.1

Mueve $z^{2}$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 (z^{2} z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2 + 2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.9

Multiplica $6 z^{2}$ por $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.3

Suma $- 4 z^{4}$ y $12 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.4

Suma $- 2 z^{2}$ y $6 z^{2}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.5

Expande $(16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3} - z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Paso 3.4.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3} z^{3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.2

Multiplica $z^{3}$ por $z^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.1.2.1

Mueve $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 (z^{3} z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3 + 3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.3

Multiplica $16$ por $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{3} z + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.5

Multiplica $z^{3}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.1.5.1

Mueve $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.5.2

Multiplica $z$ por $z^{3}$ .

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Paso 3.4.6.1.5.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.5.3

Suma $1$ y $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.6

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z \cdot z^{3} + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.8

Multiplica $z$ por $z^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.1.8.1

Mueve $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.8.2

Multiplica $z^{3}$ por $z$ .

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Paso 3.4.6.1.8.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z^{1}) + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{3 + 1} + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.8.3

Suma $3$ y $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{4} + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.9

Multiplica $4$ por $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 z (- z)$

Paso 3.4.6.1.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z \cdot z$

Paso 3.4.6.1.11

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.1.11.1

Mueve $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 (z \cdot z)$

Paso 3.4.6.1.11.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z^{2}$

Paso 3.4.6.1.12

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Paso 3.4.6.2

Suma $- 16 z^{4}$ y $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Paso 3.5

Combina los términos opuestos en $24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Resta $8 z^{4}$ de $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 0 - 4 z^{2}$

Paso 3.5.2

Suma $24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6}$ y $0$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 4 z^{2}$

Paso 3.5.3

Resta $4 z^{2}$ de $4 z^{2}$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6} + 0$

Paso 3.5.4

Suma $24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$ y $0$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$

Paso 3.6

Suma $24 z^{6}$ y $32 z^{6}$ .

$56 z^{6} - 1$