Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{9} \ln (4 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$x^{9} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{4 x}$ y $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{9}$ y $x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{9}$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $4$ y $\frac{x^{8}}{4}$ .

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.4.2.2

Divide $x^{8}$ por $1$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{8} \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.6

Multiplica $x^{8}$ por $1$ .

$x^{8} + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$x^{8} + \ln (4 x) (9 x^{8})$

Paso 3.8

Reordena los términos.

$x^{8} + 9 x^{8} \ln (4 x)$