Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x^{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

Paso 4.3

Combina fracciones.

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Paso 4.3.1

Suma $e^{x^{2}} (2 x)$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

Paso 4.3.2

Combina $e^{x^{2}}$ y $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

Paso 4.3.4

Combina $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ y $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Paso 5.3

Reordena los factores en $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$