Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{25 + x} - 5}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{25 + 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $25$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{25 + x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{25 + x} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{25 + x}$ como ${(25 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(25 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 25 + x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $25 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $25 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.4

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(25 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{25 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{25 + x}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{25 + x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{25 + x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{25 + x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 + 0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Suma $25$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Paso 4.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 4.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{10}$

Forma decimal:

$0.1$