Cálculo Ejemplos

$f (x) = (3 x + 4) (4 x - 5)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x + 4$ y $g (x) = 4 x - 5$ .

$(3 x + 4) \frac{d}{d x} [4 x - 5] + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x + 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 x + 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(3 x + 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x + 4) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$(3 x + 4) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $3 x + 4$ .

$4 \cdot (3 x + 4) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + 0)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $3$ y $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) \cdot 3$

Paso 2.12.2

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x - 5$ .

$4 (3 x + 4) + 3 \cdot (4 x - 5)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x - 5)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Paso 3.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$12 x + 16 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x + 16 + 12 x + 3 \cdot - 5$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$12 x + 16 + 12 x - 15$

Paso 3.3.5

Suma $12 x$ y $12 x$ .

$24 x + 16 - 15$

Paso 3.3.6

Resta $15$ de $16$ .

$24 x + 1$