Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 e^{x} \sqrt{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 8.3

Combina $e^{x}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 (\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 8.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 9

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

Paso 10.2

Combina $5$ y $\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{x}$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$5 e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$