Cálculo Ejemplos

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{y}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Paso 5.2

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Paso 5.3

Resta $e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- y' e^{y} + y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Paso 5.4.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ por $- e^{y} + 1$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ por $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $- e^{y} + 1$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Paso 5.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Paso 5.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Paso 5.6.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Paso 5.6.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Paso 5.6.3.6

Reescribe los negativos.

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Paso 5.6.3.6.1

Reescribe $- (e^{y} - 1)$ como $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Paso 5.6.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$