Cálculo Ejemplos

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $10 y y' - 32 x^{3}$ y $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $32 x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$10 y y' = 32 x^{3}$

Paso 5.2

Divide cada término en $10 y y' = 32 x^{3}$ por $10 y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $10 y y' = 32 x^{3}$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $32$ y $10$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $32 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$