Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.3

Suma $1$ y $4$ .

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 5

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

Paso 7

Mueve $4$ a la izquierda de $2 x^{2} - 1$ .

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4

Combina los términos.

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Paso 8.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.3.1

Mueve $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.3.3

Suma $3$ y $2$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.4

Multiplica $8$ por $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Paso 8.4.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

Paso 8.4.6

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

Paso 8.4.7

Suma $12 x^{5}$ y $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} - 12 x^{3}$