Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 9$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.3.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$\frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 27 x^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 6.5

Simplifica el denominador.

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Paso 6.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Paso 6.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Paso 6.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$