Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Multiplica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5.2

Multiplica ${(1 - x)}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 3.7

Multiplica ${(1 - x)}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{- 2}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 5

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$