Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 25$ y $g (x) = x + 5$ .

$\frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (x + 5) x - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 3.5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de ${(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$1$