Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.8

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.10.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.10.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Paso 2.10.2.3

Factoriza $x$ de $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x + 0 + 6 x - 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 3 x$ y $0$ .

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.3

Suma $- 3 x$ y $6 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x^{3}}$