Cálculo Ejemplos

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 6 x + 5$ y $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.6

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $6$ y $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Paso 2.10.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Paso 3.4.4

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Paso 3.4.5

Suma $18 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$