Cálculo Ejemplos

$f (x) = (2 x + 1) (3 x - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 x + 1) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$(2 x + 1) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x + 1$ .

$3 \cdot (2 x + 1) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + 0)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) \cdot 2$

Paso 2.12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - 2$ .

$3 (2 x + 1) + 2 \cdot (3 x - 2)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x - 2)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 x + 3 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x + 3 + 6 x + 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 x + 3 + 6 x - 4$

Paso 3.3.5

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$12 x + 3 - 4$

Paso 3.3.6

Resta $4$ de $3$ .

$12 x - 1$