Cálculo Ejemplos

$x^{2} (120 - x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 120 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $120 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

Paso 2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $120 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $120$ .

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

Paso 3.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

Paso 3.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Paso 3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

Paso 3.3.7

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 240 x$