Cálculo Ejemplos

$x^{2} \arctan (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (2 x)$

Paso 4

Para escribir $\arctan (2 x) (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{3}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 2 \arctan (2 x) x^{3} \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.2.2

Reordena los factores en $2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$