Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.3.2

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.5

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.5.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Paso 4.5.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Paso 4.6.2.4

Divide $e^{- x} (- x + 2)$ por $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Paso 4.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Paso 4.9

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Paso 4.10

Reordena los factores en $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$