Cálculo Ejemplos

$3 x \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (x \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Paso 8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 9

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 10.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

Paso 10.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x))$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (- \sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Paso 11.3

Combina los términos.

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (x (\sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Paso 11.3.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Paso 11.3.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Paso 11.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x {\cos (x)}^{1 + 1}) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Paso 11.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$