Cálculo Ejemplos

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (\frac{1}{x})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Paso 7

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Paso 7.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Paso 7.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Paso 8.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x}$