Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} \ln (2 x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $2$ y $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 (x + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x + \ln (2 x) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 3 (\ln (2 x) (2 x))$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x + 6 \ln (2 x) x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$6 x \ln (2 x) + 3 x$