Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{1 + x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $1 + x$ por $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.7.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.7.3.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$