Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x} (x + 1)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2

Combina los términos.

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Paso 11.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.2

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 11.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.5

Para escribir $x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.6

Combina $x^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.8

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.9

Suma $3 x^{\frac{1}{3}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$