Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ como ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 7.2.2

Mueve ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 7.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 7.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 8

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$